Дифференциальные уравнения решаются численно методом Рунге-Кутта.
Чтобы выписать уравнения Кирхгофа для произвольной трубопроводной сети целесообразно привлечь теорию графов.
Топология трубопроводной сети моделируется с помощью ориентированного графа, причем дуги графа соответствуют участкам труб и элементам, имеющим гидравлическое сопротивление, а вершины графа соответствуют концам труб (и точкам их соединения).
Пусть A - матрица инцидентности (точнее базисная подматрица матрицы инцидентности, которая получается из полной матрицы инцидентности в результате отбрасывания какой-нибудь строки - обычно последней). Тогда первый закон Кирхгофа, утверждающий, что сумма расходов, втекающих и вытекающих в любой узел равна нулю, можно записать в виде матричного уравнения
Рисунок 180.
Для записи второго закона Кирхгофа используется матрица базисных циклов В. Эту матрицу можно получить в результате следующей процедуры. Выберем какое-нибудь остовное дерево графа (для ускорения процессов сходимости итерационных процессов решения нелинейных уравнений Кирхгофа рекомендуется выбирать дерево с наименьшим гидравлическим сопротивлением). Выбор остовного дерева (базисного минора матрицы инцидентности) разбивает дуги графа на ветви и хорды, при этом соответствующие расходы разбиваются на базисные и свободные. С учетом этого разбиения уравнение первый закон Кирхгофа можно переписать в виде:
Рисунок 181.
Здесь At и Ac - квадратная и прямоугольная матрицы, составленные соответственно из базисных столбцов (индекс t от английского слова tree - древо) и остальных (индекс с от английского слова chord - хорда).
Выразим базисные переменные через свободные:
Рисунок 182.
Можно показать, что матрица базисных циклов, соответствующая выбранному остовному дереву имеет вид:
Рисунок 183.
Второй закон Кирхгофа, утверждающий, что сумма падений давления, с учетом действующих напоров, по любому замкнутому контуру равна нулю, можно записать в виде:
Рисунок 184.
Здесь - матрица-столбец, составленная из падений давления на каждом из участков трубопроводной сети, E матрица-столбец, составленная из действующих напоров на каждом из участков трубопроводной сети.
Уравнение (1.7) является нелинейным даже в простейшем случае гидравлической сети (в случае гидравлической сети при решении нелинейных уравнений помогает метод Ньютона). В случае паропроводов компоненты векторы определяются из решения системы дифференциальных уравнений, причем решения не являются гладкими функциями. Излом решения образуется в точке появления конденсата. С учетом этих замечаний для решения нелинейных уравнений применим метод минимизации невязок. Введем вектор невязок (residual vector)
Рисунок 185.
и вычислим норму, например евклидову (в конечномерном случае все нормы эквивалентны), этого вектора:
Рисунок 186.